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%% Cell type:markdown id: tags:
# Exact solution cases for subdomain1 and subdomain2.
%% Cell type:code id: tags:
``` python
#import dolfin as df
#import mshr
import numpy as np
import sympy as sym
import typing as tp
#import domainPatch as dp
#import LDDsimulation as ldd
import functools as ft
# init sympy session
sym.init_printing()
```
%% Cell type:code id: tags:
``` python
viscosity = {#
# subdom_num : viscosity
1 : {'wetting' :1}, #
2 : {'wetting' :1}
}
porosity = {#
# subdom_num : porosity
1 : 1,#
2 : 1
}
L = {#
# subdom_num : subdomain L for L-scheme
1 : {'wetting' :0.25},#
2 : {'wetting' :0.25}
}
lambda_param = {#
# subdom_num : lambda parameter for the L-scheme
1 : {'wetting' :100},#
2 : {'wetting' :100}
}
## relative permeabilty functions on subdomain 1
def rel_perm1w(s):
# relative permeabilty wetting on subdomain1
return s**2
def rel_perm1nw(s):
# relative permeabilty nonwetting on subdomain1
return (1-s)**3
_rel_perm1w = ft.partial(rel_perm1w)
_rel_perm1nw = ft.partial(rel_perm1nw)
subdomain1_rel_perm = {
'wetting': _rel_perm1w,#
'nonwetting': _rel_perm1nw
}
## relative permeabilty functions on subdomain 2
def rel_perm2w(s):
# relative permeabilty wetting on subdomain2
return s**3
def rel_perm2nw(s):
# relative permeabilty nonwetting on subdomain2
return (1-s)**2
_rel_perm2w = ft.partial(rel_perm2w)
_rel_perm2nw = ft.partial(rel_perm2nw)
subdomain2_rel_perm = {
'wetting': _rel_perm2w,#
'nonwetting': _rel_perm2nw
}
## dictionary of relative permeabilties on all domains.
relative_permeability = {#
1: subdomain1_rel_perm,
2: subdomain2_rel_perm
}
# S-pc-relation ship. We use the van Genuchten approach, i.e. pc = 1/alpha*(S^{-1/m} -1)^1/n, where
# we set alpha = 0, assume m = 1-1/n (see Helmig) and assume that residual saturation is Sw
def saturation(capillary_pressure, n_index, alpha):
# inverse capillary pressure-saturation-relationship
#df.conditional(capillary_pressure > 0,
return 1/((1 + (alpha*capillary_pressure)**n_index)**((n_index - 1)/n_index))
S_pc_rel = {#
1: ft.partial(saturation, n_index = 3, alpha=0.001),# n= 3 stands for non-uniform porous media
2: ft.partial(saturation, n_index = 6, alpha=0.001) # n=6 stands for uniform porous media matrix (siehe Helmig)
}
S_pc_rel_sym = {#
1: ft.partial(saturation, n_index = sym.Symbol('n'), alpha = sym.Symbol('a')),# n= 3 stands for non-uniform porous media
2: ft.partial(saturation, n_index = sym.Symbol('n'), alpha = sym.Symbol('a')) # n=6 stands for uniform porous media matrix (siehe Helmig)
}
```
%% Cell type:code id: tags:
``` python
x, y = sym.symbols('x[0], x[1]') # needed by UFL
t = sym.symbols('t', positive=True)
#f = -sym.diff(u, x, 2) - sym.diff(u, y, 2) # -Laplace(u)
#f = sym.simplify(f) # simplify f
p1_w = 1 - (1+t)*(1 + x**2 + y**2)
p1_nw = t*(1-y)**2 - sym.sqrt(2+t**2)*(1-y)
dtS1_w = sym.diff(S_pc_rel_sym[1](p1_nw - p1_w), t, 1)
dtS1_nw = -sym.diff(S_pc_rel[1](p1_nw - p1_w), t, 1)
dxdxflux1_w = -sym.diff(relative_permeability[1]['wetting'](S_pc_rel_sym[1](p1_nw - p1_w))*sym.diff(p1_w, x, 1), x, 1)
dydyflux1_w = -sym.diff(relative_permeability[1]['wetting'](S_pc_rel_sym[1](p1_nw - p1_w))*sym.diff(p1_w, y, 1), y, 1)
rhs_w = dtS1_w + dxdxflux1_w + dydyflux1_w
print("rhs_w", rhs_w, "\n")
rhs_w = sym.expand(rhs_w)
print("rhs_w", rhs_w, "\n")
dxdxflux1_nw = -sym.diff(relative_permeability[1]['nonwetting'](S_pc_rel_sym[1](p1_nw - p1_w))*sym.diff(p1_nw, x, 1), x, 1)
dydyflux1_nw = -sym.diff(relative_permeability[1]['nonwetting'](S_pc_rel_sym[1](p1_nw - p1_w))*sym.diff(p1_nw, y, 1), y, 1)
dxdxflux1_w = sym.printing.ccode(dxdxflux1_w)
dxdxflux1_nw = sym.printing.ccode(dxdxflux1_nw)
dydyflux1_w = sym.printing.ccode(dydyflux1_w)
dydyflux1_nw = sym.printing.ccode(dydyflux1_nw)
#print("dxdxflux1_w = ", dxdxflux1_w, "\n")
#print("dydyflux1_w = ", dydyflux1_w, "\n")
#print("dxdxflux1_nw = ", dxdxflux1_nw, "\n")
#print("dydyflux1_nw = ", dydyflux1_nw, "\n")
```
%% Output
rhs_w 8*x[0]**2*(a*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1))**n*(n - 1)*(-t - 1)*(t + 1)*((a*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1))**n + 1)**(-2*(n - 1)/n)/(((a*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1))**n + 1)*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1)) + 4*x[1]*(a*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1))**n*(n - 1)*(-t - 1)*((a*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1))**n + 1)**(-2*(n - 1)/n)*(t*(2*x[1] - 2) + 2*x[1]*(t + 1) + sqrt(t**2 + 2))/(((a*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1))**n + 1)*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1)) - (a*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1))**n*(n - 1)*((a*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1))**n + 1)**(-(n - 1)/n)*(-t*(1 - x[1])/sqrt(t**2 + 2) + x[0]**2 + x[1]**2 + (1 - x[1])**2 + 1)/(((a*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1))**n + 1)*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1)) - 4*(-t - 1)*((a*(t*(1 - x[1])**2 - (1 - x[1])*sqrt(t**2 + 2) + (t + 1)*(x[0]**2 + x[1]**2 + 1) - 1))**n + 1)**(-2*(n - 1)/n)
rhs_w -8*n*t**2*x[0]**2*((a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n + 1)**(2/n)*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n/(t*x[0]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(3*n) + 3*t*x[0]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(2*n) + 3*t*x[0]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n + t*x[0]**2 + 2*t*x[1]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(3*n) + 6*t*x[1]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(2*n) + 6*t*x[1]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n + 2*t*x[1]**2 - 2*t*x[1]*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(3*n) - 6*t*x[1]*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(2*n) - 6*t*x[1]*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n - 2*t*x[1] + 2*t*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(3*n) + 6*t*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(2*n) + 6*t*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n + 2*t + x[0]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(3*n) + 3*x[0]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(2*n) + 3*x[0]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n + x[0]**2 + x[1]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(3*n) + 3*x[1]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(2*n) + 3*x[1]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n + x[1]**2 + x[1]*sqrt(t**2 + 2)*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(3*n) + 3*x[1]*sqrt(t**2 + 2)*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(2*n) + 3*x[1]*sqrt(t**2 + 2)*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n + x[1]*sqrt(t**2 + 2) - sqrt(t**2 + 2)*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(3*n) - 3*sqrt(t**2 + 2)*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(2*n) - 3*sqrt(t**2 + 2)*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n - sqrt(t**2 + 2)) - 16*n*t**2*x[1]**2*((a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n + 1)**(2/n)*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n/(t*x[0]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(3*n) + 3*t*x[0]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(2*n) + 3*t*x[0]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n + t*x[0]**2 + 2*t*x[1]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(3*n) + 6*t*x[1]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(2*n) + 6*t*x[1]**2*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**n + 2*t*x[1]**2 - 2*t*x[1]*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(3*n) - 6*t*x[1]*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - a*sqrt(t**2 + 2))**(2*n) - 6*t*x[1]*(a*t*x[0]**2 + 2*a*t*x[1]**2 - 2*a*t*x[1] + 2*a*t + a*x[0]**2 + a*x[1]**2 + a*x[1]*sqrt(t**2 + 2) - 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